26년 10월 SAT 후기 (1) Math편 : 문제는 바뀌어도 출제 흐름은 예측대로, 10년 노하우로 짚어낸 핵심 유형

안녕하세요. 폴아카데미 SAT Math 김준수 강사입니다.
10월 3일 SAT를 마친 학생 여러분, 수고 많았습니다.
이번 시험을 분석하며 확인한 것은 분명합니다. 문제의 소재와 숫자는 달라졌지만, 정답을 결정하는 핵심 개념과 출제 구조는 그동안 강조해 온 흐름 안에 있었습니다.
지난주 SAT Math 직전 대비반과 중국 국경절 특강에서도 이 흐름을 바탕으로 주요 유형을 선별하고, 학생들이 놓치기 쉬운 조건과 풀이의 핵심을 집중적으로 다뤘습니다. 이번 시험에서는 수업에서 강조했던 개념과 접근법을 실제로 적용할 수 있는 문항들이 출제되었음을 확이할 수 있었습니다.
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10년 이상 수학을 가르치며 학생들에게 강조해 온 것은 늘 같습니다. 기출의 답을 기억하는 것보다, 칼리지보드가 어떤 조건으로 학생의 이해를 확인하는지 읽어내는 것이 중요하다는 것입니다.
이번 글에서는 주요 출제 유형, 고난도 문항의 풀이 원리, 그리고 다음 시험을 위한 점수대별 준비 방향을 살펴보겠습니다.
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10월 SAT 시험에서는 기출에서 풀었던 유형들의 문제와 거의 70% 정도 유사하게 나왔습니다. 즉 기출을 많이 풀어본 학생들이 유리했을텐데요. 기출에서 나오는 유형들을, 개념을 완벽히 이해하고 풀이의 원리를 이해한 학생들이 이번 시험에서도 좋은 점수를 얻을 것입니다. 특히 제 수업에서 풀이 설명을 듣고 시험 본 학생들은 특히 아는 문제가 많이 나왔을 것이라고 예상합니다.
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유형들은 예측 가능한 딱 그 범위 안에 있었습니다. 한달 전까지만 해도 Area/Volume Ratio를 묻는 문제들이 많이 나왔다면, 최근부터는 Surface Area를 구하는 문제들이 계속 나오고 있습니다. Cylinder, Pyramid 등 다양한 3차원 물체들의 Surface Area를 구하는 문제들이 자주 출제되고 있으며 (지난 9월 시험에 등장한 Pyramid’s Surface Area를 구하는 문제 풀이법은 이 블로그 를 참조해주세요), Precal에서는 Transformations가 역시나 꾸준하게 나오고 있습니다.
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아래의 차트는 당연히 꼭 알아야 하는 유형들입니다.

위에서 언급하지 않은 유형들(예를 들어, Algebra나 Statistics의 Experimental Design 같은 것들)은 당연히 학생들이 시험 전에 알아야 하는 유형들입니다.
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SAT Math를 공부하는 학생들의 문제점이라고 한다면, 개념은 어설프게 알고 있으면서도 문제 풀이에만 집중하는 것이라고 생각합니다. 우리 학생들에게는 개념을 정확하게 한 번이라도 설명해 주고, 현재 학생이 부족한 부분에 대해서 분석해주며, 그에 맞춤으로 문제를 제공해줌으로써 체계적으로 성장시켜줄 수 있는 선생님이 필요합니다.
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지금 만약 학생의 학습법이 기출이나 다양한 문제집만 풀면서, 오늘 틀린 문제를 내일은 맞기만을 기도하는 것이라면, 800점을 꾸준히 맞는 것은 현실감 없는 얘기일 것입니다. 학생들의 수행능력은 큰 차이가 없습니다. 단지 방향성을 찾는 데에서 많은 시간을 소요할 뿐입니다.
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지난 주에 SAT Math 직전 대비반과 중국 국경절 특강을 진행하면서, 그때 중요하다고 강조했던 내용들이 그대로 시험에 나왔습니다. 매 시험에서는 새로운 것만 나오는 것이 아닙니다. 제가 풀이수업을 하면서 중요하다고 딱 집어주는 문제들, 그 문제들을 제대로 이해하고 풀이방법을 이해하는 학생들은 점수가 오릅니다.
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학생이 푼 전기출을 기반으로 부족한 유형을 파악해서 맞춤 유형별/난이도별 문제들을 풀어보고, 수학 전문 선생님이 가르쳐주는 제대로 된 원리와 풀이설명을 꾸준히 듣는 것이 학생이 필요한 공부 방식이라고 생각하고 있습니다.
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1. 어려웠던 문제들과 풀이방법*
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이번 시험에서 대표적으로 어려웠던 3문제를 같이 보겠습니다.
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첫 번째 문제)

많은 학생들이 (-4,y) 점을 지난다는 사실을 이용해 첫 번째 Equation에 대입해 y의 값을 찾았을 것입니다.

이번에는 동일한 답을 Geometry를 이용해 조금 더 쉽고, 자세하게 찾아보겠습니다.
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먼저, 원과 선을 그립니다. 그러면 다음과 같은 그림이 생기게 됩니다.

그렇다면 이제 원의 중심에서부터 (-4,y) 점에 이르는 선을 그어서 직각삼각형을 만듭니다. 그러면 다음과 같이 도형이 생길 것입니다.
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두 번째 문제)

이 문제를 보고 2r>13s 부분에서 아마 많은 학생이 당황했을 거라고 생각합니다. 하지만 이 문제의 풀이과정을 사실 정말 간단합니다.
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2r>13s라는 말 자체가 무슨 뜻일까요? r이 얼마나 크면 2배만 하면, s를 13배한 것보다 더 크다고 합니다. 즉, r>s라는 뜻이겠죠. 예를 들면, ‘미국 땅이 얼마나 크면 2배만 해도, 우리나라 땅을 13배 한 거 보다 더 크다’ 이런 느낌입니다.
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수식으로도 확인할 수 있습니다. 2로 양변을 나눈다면, r>6.5s가 나와서 s의 6.5배 보다 더 큰 거를 확인할 수 있네요.
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즉, 위의 주어진 저 도형에서는 r>s인 것을 확인할 수가 있는 것입니다. 그러면 자연스럽게, 만약에 우리가 각 변을 a,b,c라고 놓는다면 대소 관계가 어떻게 될까요?

위의 그림에서 보는 것처럼, 제일 자연스럽게 a<b<c의 관계가 있게 될 것입니다.
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그러면 임의로 숫자들을 대입하는 겁니다. 저는 예시로 a=3, b=4,c=5 이렇게 대입하겠습니다.
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그러고 나서 Answer Choices를 같이 살펴보겠습니다.
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이렇게 놓고 보니, 제일 큰 값이 뭔지 바로 보입니다. (b)만 1보다 큰 값으로, 정답이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
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제가 항상 제 학생들에게 해주는 이야기가 있습니다. 어려워보이는 문제일수록 쉽게 생각하라는 것입니다. 이 문제도 이렇게 차분하게, 쉽게 생각했다면 모두 맞출 수 있는 문제였을 것입니다.
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세 번째 문제)

다음은 아마 이번 시험을 본 학생들이 제일 어려워하지 않았을까 하는 문제입니다. 하지만 풀이방법은 너무 단순합니다. 아래에서 같이 풀이방법을 살펴보겠습니다.
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일단 모든 문제를 보고, 가장 처음 해야하는 것은 무엇을 물어보고 있는가를 파악하는 일입니다.
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즉, .우리는 27rs와 p의 대소관계를 비교하기를 원합니다. 그렇다면 p가 뭔지를 알아야, 대소관계를 일단 비교할 수 있을 것 같습니다. 그러면 여기서, 우리의 해야 할 첫 번째 일이 나왔네요. p를 아는 것. 그것이 우리의 첫 번째 step이 되는 것입니다.
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p는 어떻게 구할 수 있을까요? 문제에서 h(0)=p라고 주어져 있습니다. 즉, h(0)만 무엇인지 알면 된다는 뜻입니다. 위의 주어진 방정식에서부터, h(0)=a(0+27)(0+r)(0+s)=a27rs라는 것을 알 수 있습니다.
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즉, 우리가 비교하려고 했던 건, p=a27rs와 27rs네요. 즉 a를 곱하면 왼쪽이 더 커질까, 오른쪽이 더 커질까 하는 것입니다. 그러면 두 번째 step이 밝혀졌습니다. a의 값을 알아야겠네요.
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우리한테 주어진 모든 정보는 a,r,s가 모두 positive라는 정보 뿐입니다. 즉, 그 내용을 사용해 우리가 그래프를 그려보면 여기까지 그려진다는 것입니다 (3차 함수가 왜 아래와 같이 그려지는지 모른다면 Precalculus에서 Polynomial functions 개념 공부가 확실히 필요합니다.)
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우리는 zeros가 -27,-r,-s라는 것을 알고 있기 때문에, 모든 zeros가 y-axis 왼쪽에 그려진다는 것을 알고 있습니다. 하지만, r,s의 값이 주어지지 않았기 때문에, 27,r,s의 대소관계는 알 수가 없습니다. 그래서 위의 그래프에서는 a,b,c로 표시해두었습니다.
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그러면 이 그래프와 문제에서 주어진 정보를 가지고 h(x)=a(x+27)(x+r)(x+s)에서 a의 값을 알 수 있을까요?
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절대 알 수 없습니다. 왜냐하면 -27을 제외한 -r,-s의 값들이 주어진다고 해도 (예를 들어, -27, -r=-10, -s=-11), 방정식은 이렇게 적히게 됩니다. h(x)=a(x+27)(x+10)(x+11). 이것만 보고 a의 값을 알 수 있을까요?
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우리는 이렇게 r,s의 값이 주어진다고 해도, 추가로 한 점의 정보가 필요합니다. 그래야 예를 들어 (1,7392)를 지난다고 하면, 7392=a(1+27)(1+10)(1+11) 해서, 여기서부터 a가 2로 주어지게 됩니다.
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즉, 한 점의 정보도 없고, r,s의 값도 모르는 지금 상태에서는 a의 값을 구할 수가 없다는 뜻입니다. 그러니 당연히 a27rs와 27rs의 대소관계도 모르게 되는 것이지요 (답은 C).
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이외에 리딩같은 유형의 통계 문제등은 이번주 금요일 저녁 8시에 진행하는 후기강의에 오시면 10월 Math킬러문제를 접할 수 있습니다.

폴아카데미에서 수학을 배우고자 한다면?

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2. 앞으로 어떻게 준비하면 좋을지?
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내가 학원에서 주는 기출을 꾸준하게 5번 연속 800이 나오면 저는 학생이 시험 볼 준비가 되어있다고 생각합니다. 꾸준하게 원하는 결과를 도출하지 못한다는 것은, 분명 어딘가 기본기에 흠이 있다는 것입니다.
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점수대별로 SAT Math에서 꾸준하게 만점을 받기 위한 전략은 다음과 같습니다.
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제가 수업을 하면서 느끼는 것은, 많은 학생들이 기본기가 부족해 응용이 잘 안 된다는 것입니다. 이 문제에 대한 해결책은, 개념에 대한 명료한 설명을 듣고, 내가 필요한 맞춤 문제들을 풀어보며, 체계적으로 공부를 하는 것입니다. 또한, 수학에서는 나만의 작은 개념 및 풀이 디테일이 필요한데, 그 디테일을 챙기는 습관이 들어야 한다는 것입니다.
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나만의 디테일이 쌓이다보면, 결국에 다른 학생들보다 높은 점수로 이어지게 됩니다. 제 수업의 차이는 수학 전공생 출신으로 그 디테일을 쉽게 설명해준다는 것입니다. 아는 것도 더 쉽게, 더 개념적으로 올바르게 공부하고, 추후 방향성을 잡아주는 것이 제 수업의 최우선 목표입니다.
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이 외 다양한 유형의 풀이방법과 디테일, 및 노하우는 실제 수업에서 확인해주세요. 10월 SAT Math 후기 강의 때 위에 설명한 문제들에 대해, 조금 더 자세하게 알려드릴 수 있는 기회를 가지도록 하겠습니다.
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4. 선생님 소개
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• 700 이하 학생: 빨리 개념과 기본기 수업을 들어야 합니다. SAT Math에서 다루는 Algebra, Geometry, Problem Solving Skills, Statistics, Probability, Precalculus 어딘가에서 많이 부족한 부분이 있다는 뜻입니다. 이 학생들은 많은 문제들을 푸는 것보다, 지금 모르는 부분들에 대해서 확실한 개념 설명을 듣는 것이 필수입니다.

• 700-740 학생: 개념은 조금 올라온 상태이나, 아직도 개념에 대한 완벽한 이해가 되어있지 않은 상황으로 응용문제를 만났을 때 어려움을 겪습니다. 따라서, 개념에 대한 올바른 설명을 꾸준히 들으면서, 전기출도 같이 병행하는 것이 좋은 공부방법입니다.

• 760 이상 학생: 다양한 유형의 문제들을 접해봤지만, 모르는 작은 부분들이 있습니다. 어려운 문제들과 전기출을 같이 병행하고, 그 작은 부분들에 대한 명료한 설명을 들어서, 마지막까지 채우며 대비하는 것이 중요합니다.

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• 이름: 김준수

• 졸업 고등학교: Capistrano Valley Christian Schools (미국 서부)

• 졸업 대학교: New York University (미국 동부)

• 전공: Mathematics (수학과)

• 특이사항:

  • 미국 수학과목 수업 지도 경력 7년 이상의 베테랑으로, 많은 국제학교/유학생/대학생 수업 지도 경험.

  • 수많은 학생들의 학교 내신 A/A+, 그리고 AP Precalculus, AP Calculus AB/BC, AP Statistics 5점 만점 만들어준 경력 보유.

  • 학생들의 수학적으로 부족한 부분을 빠르게 캐치하여, 지금 당장 어떤 부분을 채워야 하고, 현재 어떤 지식들이 필요한지 바로 알아내고, 수정 방안 제안 가능 → 학생이 빠르게 올바른 수학 track에 올라설 수 있고, 추후 모든 수학 과목 점수에서 고득점으로 이어짐. 학생 스스로가 수학 공부에 편함을 느낌.

  • 학생들이 궁금한 모든 아주 작고 어려운 수학적 질문에 대해서, 모두 쉽고 명쾌하게 설명 가능

• 수업 스타일: 학생 한 명 한 명에게 관심이 많고, 직관적으로 이해하기 쉽게 설명함. 학생들에게 수학을 할 수 있다는 자신감을 심어줌으로써, 향상되는 점수를 스스로 확인할 수 있도록 강의함. 반평균에 가까운 점수를 받던 학생들도 A+를 받고, 수학이 쉽게 느껴진다고 얘기하는 사례가 많음.

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